SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

Suma de Vectores 
La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vectorV. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorialV_x y sobre el eje y la componente vectorial V_y.

Notemos que V = V_x + V_y de acuerdo al método del paralelógramo.

Las magnitudes de V_x y V_y, o sea V_x y V_y, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Notar también que V_y = Vsen y V_x = Vcos

• Suma de Vectores Unitarios

Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de  unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, jy k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

Ahora V puede escribirse
V = A_x i + A_y j
Si necesitamos sumar el vector A = A_x i + A_y j con el vector
B = B_x i + B_y j escribimos
R = A + B = A_x i + A_y j + B_x i + B_y j = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j
Las componentes de R (=A + B) son R_x = A_x + B_x y R_y = A_y + B_y

Resta de Vectores

Así como la suma la resta es muy parecida, lo único diferente es que en igual de sumar restaremos los valores por sus correspondientes, es decir, teniendo U(X1,Y1) y V(X2,Y2) U-V seria (X1-X2),(Y1-Y2) y V-U seria (X2-X1),(Y2-Y1), ojo aquí si es diferente el orden de los vectores pues afecta al vector resultante no como en la suma que era igual como estuvieran acomodados.

Aquí un ejemplo para que quede claro:

1. Restar los vectores y sacar los vectores resultantes posibles.

U=(3,7,5) V=(2,4,8)

U-V = (3-2, 7-4, 5-8) = (1,3,-3)

V-U = (2-3, 4-7, 8-5) = (-1,-3,3)

Ahora vamos a otro ejemplo mas completo sacando la magnitud de ambos vectores resultantes del ejemplo anterior.

2. Retomando los vectores resultantes del ejemplo anterior calcula la magnitud de cada vector.

|U-V|=√1^2 + 3^2  + 3^2 = √19 

*La magnitud sera la misma de ambos vectores resultantes pues son los mismos datos únicamente diferente signo y al estar elevados al cuadrado el signo no afecta al producto final.

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES 

Producto de un escalar por un vector.

El producto de un escalar, k,  por un vector r es otro vector, kr, de la misma dirección que r y cuyo sentido viene determinado por el signo de k. Si k = 0, el vector kr es el vector nulo. A la derecha puede observarse como aumentando el valor de k aumenta el vector v2. El vector v2 es k veces el vector v1 en módulo. Producto escalar de dos vectores. Dados dos vectores a y b se llama producto escalar del vector a por el vector  b (se lee a multiplicado escalarmente porb, o a escalar b ), al escalar fruto de la  siguiente operacion a · b =  axbx+ayby.   Puede comprobarse que la anterior operación puede también expresarse como  el producto de los módulos de ambos vectores multiplicado por el coseno del  ángulo,θ,  que forman entre sí, es decir, a · b = a b cosθ. También se puede decir que el producto escalar nos proporciona el valor  de la proyección de un vector sobre el otro.